$\int \frac{\sin t}{7 - 3 \sin^2 t} dt$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int \frac{\sin t}{7 - 3 \sin^2 t} dt$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$ を用いて被積分関数を変形します。

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\int \frac{\sin t}{7 - 3(1 - \cos^2 t)} dt = \int \frac{\sin t}{7 - 3 + 3\cos^2 t} dt = \int \frac{\sin t}{4 + 3\cos^2 t} dt

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次に、$u = \cos t$ と置換します。すると、$du = -\sin t dt$ より、$\sin t dt = -du$となります。

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\int \frac{\sin t}{4 + 3\cos^2 t} dt = \int \frac{-1}{4 + 3u^2} du = - \int \frac{1}{4 + 3u^2} du = -\frac{1}{3} \int \frac{1}{\frac{4}{3} + u^2} du

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ここで、$\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ を用いるために、$\frac{4}{3} = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2$ とします。

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-\frac{1}{3} \int \frac{1}{(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 + u^2} du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} \arctan \frac{u}{\frac{2}{\sqrt{3}}} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan \frac{\sqrt{3}u}{2} + C

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よって、

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-\frac{\sqrt{3}}{6} \arctan \frac{\sqrt{3}u}{2} + C

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$u = \cos t$ を代入して、

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-\frac{\sqrt{3}}{6} \arctan \frac{\sqrt{3}\cos t}{2} + C

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3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{3}}{6} \arctan \left( \frac{\sqrt{3} \cos t}{2} \right) + C$