不定積分 $\int \frac{\cos x}{5\sin x - 7} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{\cos x}{5\sin x - 7} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を使って解くことができます。

まず、$u = 5\sin x - 7$ と置きます。

すると、$\frac{du}{dx} = 5\cos x$ となり、$du = 5\cos x dx$ となります。

したがって、$\cos x dx = \frac{1}{5} du$ となります。

この置換を用いると、積分は次のようになります。

$\int \frac{\cos x}{5\sin x - 7} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} du$

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$ であるから、

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{5} \ln |u| + C$

最後に、$u = 5\sin x - 7$ を代入して、$x$ の関数に戻します。

$\frac{1}{5} \ln |5\sin x - 7| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5} \ln |5\sin x - 7| + C$