関数 $f(x) = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の導関数を求めます。 (2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(\frac{\pi}{3}, f(\frac{\pi}{3}))$ における接線 $l$ の方程式を求めます。 (3) 曲線 $y=f(x)$ と接線 $l$ のグラフを描き、交点の座標を明示します。また、グラフと接線が $x$ 軸、$y$ 軸と交わるときの、その交点の座標を明示します。 (4) 曲線 $y=f(x)$、接線 $l$、$y$ 軸によって囲まれた図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の導関数を求めます。

(2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(\frac{\pi}{3}, f(\frac{\pi}{3}))$ における接線 $l$ の方程式を求めます。

(3) 曲線 $y=f(x)$ と接線 $l$ のグラフを描き、交点の座標を明示します。また、グラフと接線が $x$ 軸、$y$ 軸と交わるときの、その交点の座標を明示します。

(4) 曲線 $y=f(x)$、接線 $l$、$y$ 軸によって囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sin x$ の導関数は、$f'(x) = \cos x$ です。

(2) 接点の座標は $(\frac{\pi}{3}, f(\frac{\pi}{3})) = (\frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}) = (\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ です。

接線の傾きは $f'(\frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ です。

したがって、接線 $l$ の方程式は

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{3}-\pi}{6}$

(3)

$y= \sin x$と接線$l$の交点の$x$座標は$\frac{\pi}{3}$。

$y=\sin x$のグラフは$x$軸と$(0,0)$, $(\pi,0)$で交わる。$y$軸とは$(0,0)$で交わる。

接線$l$と$x$軸の交点は、$0 = \frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{3}-\pi}{6}$を解いて、$x = \frac{\pi-3\sqrt{3}}{3}$より$(\frac{\pi-3\sqrt{3}}{3}, 0)$。

接線$l$と$y$軸の交点は、$x=0$を代入して、$(0, \frac{3\sqrt{3}-\pi}{6})$。

交点の座標は$(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$。

$y=\sin x$と$x$軸との交点は$(0,0)$, $(\pi,0)$。

$y=\sin x$と$y$軸との交点は$(0,0)$。

接線$l$と$x$軸との交点は$(\frac{\pi-3\sqrt{3}}{3},0)$。

接線$l$と$y$軸との交点は$(0,\frac{3\sqrt{3}-\pi}{6})$。

(4) 求める面積は、$\int_0^{\pi/3} \sin x \, dx - \int_0^{\pi/3} (\frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{3}-\pi}{6}) \, dx$ で計算できます。

$\int_0^{\pi/3} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi/3} = -\cos \frac{\pi}{3} + \cos 0 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

$\int_0^{\pi/3} (\frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{3}-\pi}{6}) \, dx = [\frac{1}{4}x^2 + \frac{3\sqrt{3}-\pi}{6}x]_0^{\pi/3} = \frac{1}{4}(\frac{\pi}{3})^2 + \frac{3\sqrt{3}-\pi}{6} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2}{36} + \frac{3\sqrt{3}\pi - \pi^2}{18} = \frac{\pi^2}{36} + \frac{6\sqrt{3}\pi - 2\pi^2}{36} = \frac{6\sqrt{3}\pi - \pi^2}{36}$

したがって、面積は $\frac{1}{2} - \frac{6\sqrt{3}\pi - \pi^2}{36} = \frac{18 - 6\sqrt{3}\pi + \pi^2}{36}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \cos x$

(2) $y = \frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{3}-\pi}{6}$

(3) グラフと上記参照

(4) $\frac{18 - 6\sqrt{3}\pi + \pi^2}{36}$