与えられた4つの数列の収束、発散について調べる問題です。数列の一般項はそれぞれ以下の通りです。 (1) $a_n = 2 - 5n$ (2) $a_n = \frac{1}{3n}$ (3) $a_n = \sqrt{n+1}$ (4) $a_n = (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$

1. 問題の内容

与えられた4つの数列の収束、発散について調べる問題です。数列の一般項はそれぞれ以下の通りです。

(1) $a_n = 2 - 5n$

(2) $a_n = \frac{1}{3n}$

(3) $a_n = \sqrt{n+1}$

(4) $a_n = (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$

2. 解き方の手順

それぞれの数列の極限を考えます。

(1) $a_n = 2 - 5n$ の場合

$n$ が大きくなるにつれて、$5n$ も大きくなります。したがって、$2 - 5n$ は負の方向に無限に小さくなります。

$\lim_{n \to \infty} (2 - 5n) = -\infty$

よって、発散します。

(2) $a_n = \frac{1}{3n}$ の場合

$n$ が大きくなるにつれて、$3n$ も大きくなります。したがって、$\frac{1}{3n}$ は0に近づきます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n} = 0$

よって、収束し、極限値は0です。

(3) $a_n = \sqrt{n+1}$ の場合

$n$ が大きくなるにつれて、$n+1$ も大きくなります。したがって、$\sqrt{n+1}$ も大きくなります。

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n+1} = \infty$

よって、発散します。

(4) $a_n = (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$ の場合

この数列は符号が交互に変わりますが、$\frac{1}{n}$ が0に近づくため、$(-1)^{n+1} \frac{1}{n}$ も0に近づきます。

$\lim_{n \to \infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n} = 0$

よって、収束し、極限値は0です。

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) 収束 (極限値は0)

(3) 発散

(4) 収束 (極限値は0)