以下の不定積分を求める問題です。 1. $\int (x^5 + 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 5x + 3) dx$ 2. $\int (3\sin x + 4\cos x + 5\tan x) dx$ 3. $\int (3e^x + 1) dx$ 4. $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ 5. $\int \frac{x^2 + 1}{x} dx$ 6. $\int \frac{1}{(3x+2)^3} dx$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

**問題1**

1. 問題の内容

以下の不定積分を求める問題です。

1. $\int (x^5 + 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 5x + 3) dx$

2. $\int (3\sin x + 4\cos x + 5\tan x) dx$

3. $\int (3e^x + 1) dx$

4. $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

5. $\int \frac{x^2 + 1}{x} dx$

6. $\int \frac{1}{(3x+2)^3} dx$

2. 解き方の手順

1. 多項式の積分

各項ごとに積分を行います。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$)

$\int (x^5 + 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 5x + 3) dx = \frac{x^6}{6} + \frac{2x^5}{5} + \frac{3x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 3x + C$

2. 三角関数の積分

各項ごとに積分を行います。

$\int \sin x dx = -\cos x + C$

$\int \cos x dx = \sin x + C$

$\int \tan x dx = -\log|\cos x| + C$

$\int (3\sin x + 4\cos x + 5\tan x) dx = -3\cos x + 4\sin x - 5\log|\cos x| + C$

3. 指数関数の積分

各項ごとに積分を行います。

$\int e^x dx = e^x + C$

$\int 3e^x + 1 dx = 3e^x + x + C$

4. $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$

5. $\int \frac{x^2 + 1}{x} dx = \int (x + \frac{1}{x}) dx = \frac{x^2}{2} + \log|x| + C$

6. $\int \frac{1}{(3x+2)^3} dx$

$u = 3x + 2$ と置換すると、$du = 3dx$ より $dx = \frac{1}{3} du$。

$\int \frac{1}{u^3} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{-3} du = \frac{1}{3} \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{6u^2} + C = -\frac{1}{6(3x+2)^2} + C$

3. 最終的な答え

1. $\frac{x^6}{6} + \frac{2x^5}{5} + \frac{3x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 3x + C$

2. $-3\cos x + 4\sin x - 5\log|\cos x| + C$

3. $3e^x + x + C$

4. $2\sqrt{x} + C$

5. $\frac{x^2}{2} + \log|x| + C$

6. $-\frac{1}{6(3x+2)^2} + C$

**問題2**

1. 問題の内容

$a \neq 0$ とする。置換積分法を用いて、不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$ を求めよ。ただし、$x = a\sin t$ と置換する。

2. 解き方の手順

$x = a\sin t$ より、$dx = a\cos t dt$。

$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2\sin^2 t} = \sqrt{a^2(1 - \sin^2 t)} = \sqrt{a^2\cos^2 t} = |a\cos t|$。

$a > 0$かつ$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$のとき、$|a\cos t| = a\cos t$であるから、

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \int \frac{a\cos t}{a\cos t} dt = \int 1 dt = t + C = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$

3. 最終的な答え

$\arcsin(\frac{x}{a}) + C$

**問題3**

1. 問題の内容

$a \neq 0$ とする。置換積分法を用いて、不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} dx$ を求めよ。ただし、$x = a\sinh t$ と置換する。

2. 解き方の手順

$x = a\sinh t$ より、$dx = a\cosh t dt$。

$\sqrt{a^2 + x^2} = \sqrt{a^2 + a^2\sinh^2 t} = \sqrt{a^2(1 + \sinh^2 t)} = \sqrt{a^2\cosh^2 t} = |a\cosh t|$。

$a>0$かつ$\cosh t > 0$のとき、$|a\cosh t| = a\cosh t$であるから、

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} dx = \int \frac{a\cosh t}{a\cosh t} dt = \int 1 dt = t + C = \mathrm{arcsinh}(\frac{x}{a}) + C$

ここで、$\mathrm{arcsinh}(x) = \log(x+\sqrt{x^2+1})$であるから

$\mathrm{arcsinh}(\frac{x}{a}) = \log(\frac{x}{a}+\sqrt{(\frac{x}{a})^2+1}) = \log(\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}) = \log(x+\sqrt{x^2+a^2})-\log(a)$

$-\log(a)$は積分定数に含めることができるので、

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} dx = \log(x+\sqrt{x^2+a^2}) + C$

3. 最終的な答え

$\log(x+\sqrt{x^2+a^2}) + C$