以下の2つの極限が存在するかどうかを調べ、存在するならばその値を求めます。 (1) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$ (2) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^2+5y^2}{x^2+y^2}$

1. 問題の内容

以下の2つの極限が存在するかどうかを調べ、存在するならばその値を求めます。

(1) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$

(2) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^2+5y^2}{x^2+y^2}$

2. 解き方の手順

(1) 極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とすると、$(x,y)\to(0,0)$ は $r\to 0$ に対応します。

したがって、

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\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{r\to 0} \frac{r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta}{\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta}} = \lim_{r\to 0} \frac{r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{r} = \lim_{r\to 0} r(\cos^2\theta - \sin^2\theta)

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ここで、$-1 \le \cos^2\theta - \sin^2\theta \le 1$ であるため、

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\lim_{r\to 0} r(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = 0

$$$$

(2) 極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とすると、$(x,y)\to(0,0)$ は $r\to 0$ に対応します。

したがって、

$$$$

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^2+5y^2}{x^2+y^2} = \lim_{r\to 0} \frac{3r^2\cos^2\theta + 5r^2\sin^2\theta}{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \lim_{r\to 0} \frac{r^2(3\cos^2\theta + 5\sin^2\theta)}{r^2} = \lim_{r\to 0} (3\cos^2\theta + 5\sin^2\theta)

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3\cos^2\theta + 5\sin^2\theta = 3\cos^2\theta + 3\sin^2\theta + 2\sin^2\theta = 3 + 2\sin^2\theta

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$\theta$ によって値が変わるため、極限は存在しません。例えば、$\theta = 0$ ならば極限は3であり、$\theta = \pi/2$ ならば極限は5です。

3. 最終的な答え

(1) 極限は存在し、値は0です。

(2) 極限は存在しません。