与えられた問題は、以下の定積分の $a \to \infty$ の極限を求めるものです。 $\lim_{a \to \infty} \int_{0}^{a} e^{-x} x^5 dx$

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の定積分の $a \to \infty$ の極限を求めるものです。

$\lim_{a \to \infty} \int_{0}^{a} e^{-x} x^5 dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int e^{-x} x^5 dx$ を計算します。これは部分積分を繰り返し行う必要があります。

$I_n = \int x^n e^{-x} dx$ と定義すると、部分積分法より

$I_n = \int x^n (-e^{-x})' dx = -x^n e^{-x} + \int n x^{n-1} e^{-x} dx = -x^n e^{-x} + n I_{n-1}$

したがって、$I_5 = \int x^5 e^{-x} dx = -x^5 e^{-x} + 5 I_4$ となります。これを繰り返すと、

$I_5 = -x^5 e^{-x} + 5(-x^4 e^{-x} + 4 I_3) = -x^5 e^{-x} -5x^4 e^{-x} + 20 I_3$

$I_5 = -x^5 e^{-x} -5x^4 e^{-x} + 20(-x^3 e^{-x} + 3 I_2) = -x^5 e^{-x} -5x^4 e^{-x} -60x^3 e^{-x} + 60 I_2$

$I_5 = -x^5 e^{-x} -5x^4 e^{-x} -60x^3 e^{-x} + 60(-x^2 e^{-x} + 2 I_1) = -x^5 e^{-x} -5x^4 e^{-x} -60x^3 e^{-x} -120x^2 e^{-x} + 120 I_1$

$I_5 = -x^5 e^{-x} -5x^4 e^{-x} -60x^3 e^{-x} -120x^2 e^{-x} + 120(-x e^{-x} + I_0) = -x^5 e^{-x} -5x^4 e^{-x} -60x^3 e^{-x} -120x^2 e^{-x} -120x e^{-x} + 120 I_0$

$I_0 = \int e^{-x} dx = -e^{-x}$

よって、$I_5 = -e^{-x} (x^5 + 5x^4 + 20x^3 + 60x^2 + 120x + 120) + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_0^a x^5 e^{-x} dx = [-e^{-x} (x^5 + 5x^4 + 20x^3 + 60x^2 + 120x + 120)]_0^a$

$= -e^{-a} (a^5 + 5a^4 + 20a^3 + 60a^2 + 120a + 120) - (-e^{-0}(0^5 + 5(0^4) + 20(0^3) + 60(0^2) + 120(0) + 120))$

$= -e^{-a} (a^5 + 5a^4 + 20a^3 + 60a^2 + 120a + 120) + 120$

最後に、 $a \to \infty$ の極限を計算します。指数関数の減衰は多項式の成長よりも速いため、

$\lim_{a \to \infty} e^{-a} (a^5 + 5a^4 + 20a^3 + 60a^2 + 120a + 120) = 0$

したがって、

$\lim_{a \to \infty} \int_{0}^{a} e^{-x} x^5 dx = 0 + 120 = 120$

3. 最終的な答え

120