与えられた定積分を計算します。積分は次の通りです。 $\int_{\frac{\pi^2}{16}}^{\frac{\pi^2}{9}} \frac{\sec^2{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。積分は次の通りです。

$\int_{\frac{\pi^2}{16}}^{\frac{\pi^2}{9}} \frac{\sec^2{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = \sqrt{x}$ と置くと、$du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$ となります。

したがって、$2du = \frac{dx}{\sqrt{x}}$ となります。

積分範囲も変更します。

$x = \frac{\pi^2}{16}$ のとき、$u = \sqrt{\frac{\pi^2}{16}} = \frac{\pi}{4}$

$x = \frac{\pi^2}{9}$ のとき、$u = \sqrt{\frac{\pi^2}{9}} = \frac{\pi}{3}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} 2\sec^2{u} du = 2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \sec^2{u} du$

$\sec^2{u}$ の積分は $\tan{u}$ なので、

$2 [\tan{u}]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = 2(\tan{\frac{\pi}{3}} - \tan{\frac{\pi}{4}})$

$\tan{\frac{\pi}{3}} = \sqrt{3}$ であり、$\tan{\frac{\pi}{4}} = 1$ なので、

$2(\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3} - 2$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3} - 2$