関数 $f(x) = \sin x$ (ただし $0 \le x \le \pi$) について、以下の2つの問題を解きます。 (1) $f(x)$ の導関数を求めます。 (2) $y = f(x)$ のグラフ上の点 $(\frac{\pi}{3}, f(\frac{\pi}{3}))$ における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin x$ (ただし $0 \le x \le \pi$) について、以下の2つの問題を解きます。

(1) $f(x)$ の導関数を求めます。

(2) $y = f(x)$ のグラフ上の点 $(\frac{\pi}{3}, f(\frac{\pi}{3}))$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sin x$ の導関数を求めます。$\sin x$ の導関数は $\cos x$ です。

したがって、$f'(x) = \cos x$ です。

(2) $y = f(x)$ のグラフ上の点 $(\frac{\pi}{3}, f(\frac{\pi}{3}))$ における接線の方程式を求めます。

まず、$f(\frac{\pi}{3})$ を計算します。

$f(\frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

次に、$f'(x) = \cos x$ より、$x = \frac{\pi}{3}$ における $f'(x)$ の値を計算します。

$f'(\frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

したがって、接点の座標は $(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ であり、接線の傾きは $\frac{1}{2}$ です。

接線の方程式は、

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \cos x$

(2) $y = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$