以下の3つの集合 $A$, $B$, $C$ について、それぞれの上限と下限を求めます。 (1) $A = \{3 - \frac{2}{n} \mid n \in \mathbb{N}\}$ (2) $B = \{1 + \frac{1}{3n} \mid n \in \mathbb{N}\}$ (3) $C = \{\frac{1}{2^n} \mid n \in \mathbb{N}\}$

1. 問題の内容

以下の3つの集合 $A$, $B$, $C$ について、それぞれの上限と下限を求めます。

(1) $A = \{3 - \frac{2}{n} \mid n \in \mathbb{N}\}$

(2) $B = \{1 + \frac{1}{3n} \mid n \in \mathbb{N}\}$

(3) $C = \{\frac{1}{2^n} \mid n \in \mathbb{N}\}$

2. 解き方の手順

(1) 集合 $A$: $A = \{3 - \frac{2}{n} \mid n \in \mathbb{N}\}$

$n$ が大きくなるにつれて、$\frac{2}{n}$ は小さくなり、$3 - \frac{2}{n}$ は大きくなります。

したがって、$n = 1$ のとき最小値 $3 - \frac{2}{1} = 1$ をとり、これが下限となります。

$n$ を無限大に近づけると、$\frac{2}{n}$ は 0 に近づき、$3 - \frac{2}{n}$ は 3 に近づきます。

したがって、上限は 3 となります。

(2) 集合 $B$: $B = \{1 + \frac{1}{3n} \mid n \in \mathbb{N}\}$

$n$ が大きくなるにつれて、$\frac{1}{3n}$ は小さくなり、$1 + \frac{1}{3n}$ は小さくなります。

したがって、$n = 1$ のとき最大値 $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ をとり、これが上限となります。

$n$ を無限大に近づけると、$\frac{1}{3n}$ は 0 に近づき、$1 + \frac{1}{3n}$ は 1 に近づきます。

したがって、下限は 1 となります。

(3) 集合 $C$: $C = \{\frac{1}{2^n} \mid n \in \mathbb{N}\}$

$n$ が大きくなるにつれて、$2^n$ は大きくなり、$\frac{1}{2^n}$ は小さくなります。

したがって、$n = 1$ のとき最大値 $\frac{1}{2}$ をとり、これが上限となります。

$n$ を無限大に近づけると、$\frac{1}{2^n}$ は 0 に近づきます。

したがって、下限は 0 となります。

3. 最終的な答え

(1) 集合 $A$: 上限は 3, 下限は 1

(2) 集合 $B$: 上限は $\frac{4}{3}$, 下限は 1

(3) 集合 $C$: 上限は $\frac{1}{2}$, 下限は 0