与えられた関数 $f(x)$ の導関数を定義に従って求める問題です。関数は2つ与えられています。 (1) $f(x) = -2x + 3$ (2) $f(x) = x^2 - 4x + 1$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の導関数を定義に従って求める問題です。関数は2つ与えられています。

(1) $f(x) = -2x + 3$

(2) $f(x) = x^2 - 4x + 1$

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

(1) $f(x) = -2x + 3$ の場合

$f(x+h) = -2(x+h) + 3 = -2x - 2h + 3$

$f(x+h) - f(x) = (-2x - 2h + 3) - (-2x + 3) = -2h$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{-2h}{h} = -2$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} -2 = -2$

(2) $f(x) = x^2 - 4x + 1$ の場合

$f(x+h) = (x+h)^2 - 4(x+h) + 1 = x^2 + 2xh + h^2 - 4x - 4h + 1$

$f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 - 4x - 4h + 1) - (x^2 - 4x + 1) = 2xh + h^2 - 4h$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2 - 4h}{h} = 2x + h - 4$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h - 4) = 2x - 4$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = -2$

(2) $f'(x) = 2x - 4$