与えられた関数 $f(x)$ について、指定された $x$ の値における微分係数を、定義に従って求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、指定された $x$ の値における微分係数を、定義に従って求めます。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

です。この定義を用いて、各関数について指定された点での微分係数を求めます。

(1) $f(x) = 2x - 3$、$x = 0$

$f(0) = 2(0) - 3 = -3$

$f(0+h) = 2(0+h) - 3 = 2h - 3$

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{(2h-3) - (-3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h} = \lim_{h \to 0} 2 = 2$

(2) $f(x) = x^2 - 3x + 2$、$x = 1$

$f(1) = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$

$f(1+h) = (1+h)^2 - 3(1+h) + 2 = 1 + 2h + h^2 - 3 - 3h + 2 = h^2 - h$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 - h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(h - 1)}{h} = \lim_{h \to 0} (h - 1) = -1$

(3) $f(x) = -x^2 + 4x + 5$、$x = -2$

$f(-2) = -(-2)^2 + 4(-2) + 5 = -4 - 8 + 5 = -7$

$f(-2+h) = -(-2+h)^2 + 4(-2+h) + 5 = -(4 - 4h + h^2) - 8 + 4h + 5 = -4 + 4h - h^2 - 8 + 4h + 5 = -h^2 + 8h - 7$

$f'(-2) = \lim_{h \to 0} \frac{(-h^2 + 8h - 7) - (-7)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h^2 + 8h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(-h + 8)}{h} = \lim_{h \to 0} (-h + 8) = 8$

3. 最終的な答え

(1) $f'(0) = 2$

(2) $f'(1) = -1$

(3) $f'(-2) = 8$