$\lim_{x \to -\infty} (1-x)^{1/x}$ を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -\infty} (1-x)^{1/x}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = (1-x)^{1/x}$ とおきます。

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln (1-x)^{1/x} = \frac{1}{x} \ln (1-x)$

ここで、$x \to -\infty$ のとき、$\ln (1-x) \to \infty$ であり、$x \to -\infty$ であるから、$\frac{1}{x} \to 0$ となります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln (1-x)}{x}$ を考えます。

$x = -t$ とおくと、$x \to -\infty$ のとき、$t \to \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln (1-x)}{x} = \lim_{t \to \infty} \frac{\ln (1+t)}{-t} = - \lim_{t \to \infty} \frac{\ln (1+t)}{t}$

ここで、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{t \to \infty} \frac{\ln (1+t)}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{1+t}}{1} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{1+t} = 0$

よって、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln (1-x)}{x} = -0 = 0$

したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \ln y = 0$

$y = e^{\ln y}$ であるから、

$\lim_{x \to -\infty} y = e^{\lim_{x \to -\infty} \ln y} = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to -\infty} (1-x)^{1/x} = 1$