与えられた6つの関数を微分せよ。 (1) $y = x + \log x$ (2) $y = (x + 2) \log x$ (3) $y = \log \sqrt{x^2 + 1}$ (4) $y = \log_3 x$ (5) $y = \frac{\log x}{x}$ (6) $y = \log \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right|$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

問題文にある $log$ は全て常用対数（底が10の対数）として扱います。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分せよ。

(1) $y = x + \log x$

(2) $y = (x + 2) \log x$

(3) $y = \log \sqrt{x^2 + 1}$

(4) $y = \log_3 x$

(5) $y = \frac{\log x}{x}$

(6) $y = \log \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right|$

2. 解き方の手順

(1) $y = x + \log x$

$y' = (x)' + (\log x)' = 1 + \frac{1}{x \log 10}$

(2) $y = (x + 2) \log x$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$y' = (x + 2)' \log x + (x + 2) (\log x)' = 1 \cdot \log x + (x + 2) \cdot \frac{1}{x \log 10} = \log x + \frac{x + 2}{x \log 10}$

(3) $y = \log \sqrt{x^2 + 1} = \log (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log (x^2 + 1)$

合成関数の微分公式を用いる。

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(x^2 + 1) \log 10} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(x^2 + 1) \log 10} \cdot 2x = \frac{x}{(x^2 + 1) \log 10}$

(4) $y = \log_3 x = \frac{\log x}{\log 3}$

$y' = \frac{1}{\log 3} (\log x)' = \frac{1}{\log 3} \cdot \frac{1}{x \log 10} = \frac{1}{x \log 3 \log 10}$

(5) $y = \frac{\log x}{x}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$を用いる。

$y' = \frac{(\log x)' \cdot x - \log x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x \log 10} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{\frac{1}{\log 10} - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log 10 \cdot \log x}{x^2 \log 10}$

(6) $y = \log \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| = \log |x - 1| - \log |x + 1|$

$y' = \frac{1}{(x - 1) \log 10} - \frac{1}{(x + 1) \log 10} = \frac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1) \log 10} = \frac{2}{(x^2 - 1) \log 10}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 1 + \frac{1}{x \log 10}$

(2) $y' = \log x + \frac{x + 2}{x \log 10}$

(3) $y' = \frac{x}{(x^2 + 1) \log 10}$

(4) $y' = \frac{1}{x \log 3 \log 10}$

(5) $y' = \frac{1 - \log 10 \cdot \log x}{x^2 \log 10}$

(6) $y' = \frac{2}{(x^2 - 1) \log 10}$