定積分 $\int_{0}^{2} (3t^2 + t - 4) dt$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} (3t^2 + t - 4) dt$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分する関数 $3t^2 + t - 4$ の不定積分を求めます。

$\int (3t^2 + t - 4) dt = \int 3t^2 dt + \int t dt - \int 4 dt = t^3 + \frac{1}{2}t^2 - 4t + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分の定義に従い、不定積分の $t=2$ での値から $t=0$ での値を引きます。

$\int_{0}^{2} (3t^2 + t - 4) dt = [t^3 + \frac{1}{2}t^2 - 4t]_{0}^{2} = (2^3 + \frac{1}{2}(2^2) - 4(2)) - (0^3 + \frac{1}{2}(0^2) - 4(0))$

$= (8 + \frac{1}{2}(4) - 8) - (0 + 0 - 0) = (8 + 2 - 8) - 0 = 2$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{2} (3t^2 + t - 4) dt = 2$