与えられた関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この関数を微分するために、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x^{\frac{1}{x}})$

対数の性質を使って、右辺を簡略化します。

$\ln y = \frac{1}{x} \ln x$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律を使って、右辺は積の微分公式を使います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{x} \ln x)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (-\frac{1}{x^2}) \ln x + \frac{1}{x} (\frac{1}{x})$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{\ln x}{x^2} + \frac{1}{x^2}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

$\frac{dy}{dx}$ について解くために、両辺に $y$ を掛けます。

$\frac{dy}{dx} = y \frac{1 - \ln x}{x^2}$

$y = x^{\frac{1}{x}}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}$