次の6つの関数を微分します。 (1) $y = \frac{1}{x+3}$ (2) $y = \frac{3}{4-x}$ (3) $y = -\frac{5}{x^2+7}$ (4) $y = \frac{2x+3}{x+1}$ (5) $y = \frac{x+1}{x^2+1}$ (6) $y = \frac{3x-1}{x^2+2x}$

はい、承知いたしました。与えられた関数の微分を求めます。

1. 問題の内容

次の6つの関数を微分します。

(1) $y = \frac{1}{x+3}$

(2) $y = \frac{3}{4-x}$

(3) $y = -\frac{5}{x^2+7}$

(4) $y = \frac{2x+3}{x+1}$

(5) $y = \frac{x+1}{x^2+1}$

(6) $y = \frac{3x-1}{x^2+2x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x+3}$

$y = (x+3)^{-1}$と書き換えられます。

連鎖律を使うと、

$\frac{dy}{dx} = -1(x+3)^{-2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x+3)^2}$

(2) $y = \frac{3}{4-x}$

$y = 3(4-x)^{-1}$と書き換えられます。

連鎖律を使うと、

$\frac{dy}{dx} = 3(-1)(4-x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{3}{(4-x)^2}$

(3) $y = -\frac{5}{x^2+7}$

$y = -5(x^2+7)^{-1}$と書き換えられます。

連鎖律を使うと、

$\frac{dy}{dx} = -5(-1)(x^2+7)^{-2} \cdot (2x) = \frac{10x}{(x^2+7)^2}$

(4) $y = \frac{2x+3}{x+1}$

商の微分法を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2)(x+1) - (2x+3)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x+2 - 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}$

(5) $y = \frac{x+1}{x^2+1}$

商の微分法を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(1)(x^2+1) - (x+1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2 - 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2+1)^2}$

(6) $y = \frac{3x-1}{x^2+2x}$

商の微分法を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(3)(x^2+2x) - (3x-1)(2x+2)}{(x^2+2x)^2} = \frac{3x^2+6x - (6x^2+6x-2x-2)}{(x^2+2x)^2} = \frac{3x^2+6x - 6x^2-4x+2}{(x^2+2x)^2} = \frac{-3x^2+2x+2}{(x^2+2x)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x+3)^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{(4-x)^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{10x}{(x^2+7)^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x+1)^2}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2+1)^2}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2+2x+2}{(x^2+2x)^2}$