与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の4つの関数 $y$ を $x$ で微分します。 (1) $y = -\frac{3}{2x^2}$ (2) $y = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}$ (3) $y = 2x^3 + \frac{3}{x^4}$ (4) $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4x} + \frac{5}{6x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の4つの関数 $y$ を $x$ で微分します。

(1) $y = -\frac{3}{2x^2}$

(2) $y = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}$

(3) $y = 2x^3 + \frac{3}{x^4}$

(4) $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4x} + \frac{5}{6x^2}$

2. 解き方の手順

微分公式 $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ を用いて各関数を微分します。

(1) $y = -\frac{3}{2x^2} = -\frac{3}{2}x^{-2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2} \cdot (-2) x^{-3} = 3x^{-3} = \frac{3}{x^3}$

(2) $y = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2} = x^{-1} - 3x^{-2}$

$\frac{dy}{dx} = -1x^{-2} - 3(-2)x^{-3} = -x^{-2} + 6x^{-3} = -\frac{1}{x^2} + \frac{6}{x^3}$

(3) $y = 2x^3 + \frac{3}{x^4} = 2x^3 + 3x^{-4}$

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot (-4) x^{-5} = 6x^2 - 12x^{-5} = 6x^2 - \frac{12}{x^5}$

(4) $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4x} + \frac{5}{6x^2} = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x^{-1} + \frac{5}{6}x^{-2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot (-1) x^{-2} + \frac{5}{6} \cdot (-2) x^{-3} = \frac{1}{2} - \frac{3}{4x^2} - \frac{5}{3x^3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x^3}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} + \frac{6}{x^3}$

(3) $\frac{dy}{dx} = 6x^2 - \frac{12}{x^5}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} - \frac{3}{4x^2} - \frac{5}{3x^3}$