次の関数の最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = (1 + \cos x) \sin x$ ($0 \le x \le 2\pi$) (2) $y = \frac{4 - 3x}{x^2 + 1}$ ($1 \le x \le 4$)

1. 問題の内容

次の関数の最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = (1 + \cos x) \sin x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

(2) $y = \frac{4 - 3x}{x^2 + 1}$ ($1 \le x \le 4$)

2. 解き方の手順

(1) $y = (1 + \cos x) \sin x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

まず、$y$ を微分します。

$y' = (-\sin x) \sin x + (1 + \cos x) \cos x = -\sin^2 x + \cos x + \cos^2 x = \cos x + \cos 2x$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\cos x + \cos 2x = 0$

$\cos x + 2\cos^2 x - 1 = 0$

$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

$(2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$ または $\cos x = -1$

$\cos x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$\cos x = -1$ のとき、$x = \pi$

$x = 0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}, 2\pi$ のときの $y$ の値を計算します。

$x = 0$ のとき、$y = (1 + 1) \cdot 0 = 0$

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき、$y = (1 + \frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$x = \pi$ のとき、$y = (1 - 1) \cdot 0 = 0$

$x = \frac{5\pi}{3}$ のとき、$y = (1 + \frac{1}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$x = 2\pi$ のとき、$y = (1 + 1) \cdot 0 = 0$

したがって、最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$、最小値は $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ です。

(2) $y = \frac{4 - 3x}{x^2 + 1}$ ($1 \le x \le 4$)

まず、$y$ を微分します。

$y' = \frac{(-3)(x^2 + 1) - (4 - 3x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-3x^2 - 3 - 8x + 6x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^2 - 8x - 3}{(x^2 + 1)^2}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 8x - 3 = 0$

$(3x + 1)(x - 3) = 0$

$x = -\frac{1}{3}, 3$

$1 \le x \le 4$ なので、$x = 3$

$x = 1, 3, 4$ のときの $y$ の値を計算します。

$x = 1$ のとき、$y = \frac{4 - 3}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

$x = 3$ のとき、$y = \frac{4 - 9}{9 + 1} = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$

$x = 4$ のとき、$y = \frac{4 - 12}{16 + 1} = \frac{-8}{17}$

$-\frac{8}{17} > -\frac{1}{2}$

したがって、最大値は $\frac{1}{2}$、最小値は $-\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$、最小値: $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$

(2) 最大値: $\frac{1}{2}$、最小値: $-\frac{1}{2}$