与えられた関数 $y = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、商の微分法と連鎖律を使う必要があります。商の微分法は、関数 $y = \frac{u}{v}$ の導関数が $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ で与えられるというものです。連鎖律は、合成関数の微分に適用されます。

まず、$u = x$ と $v = \sqrt{x+1}$ と定義します。

次に、$u'$ と $v'$ を求めます。

$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(\sqrt{x+1}) = \frac{d}{dx}((x+1)^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(x+1) = \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ に $u$, $v$, $u'$, $v'$ を代入します。

$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x+1} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{(\sqrt{x+1})^2}$

$y' = \frac{\sqrt{x+1} - \frac{x}{2\sqrt{x+1}}}{x+1}$

分子の分数を解消するために、分子と分母に $2\sqrt{x+1}$ をかけます。

$y' = \frac{2(x+1) - x}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$

$y' = \frac{2x+2-x}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$

$y' = \frac{x+2}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$

$y' = \frac{x+2}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+2}{2(x+1)\sqrt{x+1}} = \frac{x+2}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}$