与えられた関数 $y = x^{\cos^{-1}(3x)}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^{\cos^{-1}(3x)}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \cos^{-1}(3x) \ln x$

両辺を $x$ について微分します。積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos^{-1}(3x)) \ln x + \cos^{-1}(3x) \frac{d}{dx}(\ln x)$

ここで $\frac{d}{dx}(\cos^{-1}(3x)) = \frac{-3}{\sqrt{1-(3x)^2}} = \frac{-3}{\sqrt{1-9x^2}}$ であり、 $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ です。したがって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{-3}{\sqrt{1-9x^2}} \ln x + \cos^{-1}(3x) \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{-3 \ln x}{\sqrt{1-9x^2}} + \frac{\cos^{-1}(3x)}{x} \right)$

$y = x^{\cos^{-1}(3x)}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\cos^{-1}(3x)} \left( \frac{\cos^{-1}(3x)}{x} - \frac{3 \ln x}{\sqrt{1-9x^2}} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^{\cos^{-1}(3x)} \left( \frac{\cos^{-1}(3x)}{x} - \frac{3 \ln x}{\sqrt{1-9x^2}} \right)$