関数 $y = x^{\cos^{-1}(3x)}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\cos^{-1}(3x)}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x^{\cos^{-1}(3x)})$

$\ln y = \cos^{-1}(3x) \cdot \ln x$

次に、両辺を $x$ について微分します。左辺は連鎖律を使い、右辺は積の微分公式を使います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\cos^{-1}(3x)) \cdot \ln x + \cos^{-1}(3x) \cdot \frac{d}{dx} (\ln x)$

$\cos^{-1}(3x)$ の微分は、合成関数の微分公式より $\frac{-3}{\sqrt{1-(3x)^2}} = \frac{-3}{\sqrt{1-9x^2}}$ です。また、$\ln x$ の微分は $\frac{1}{x}$ です。

したがって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{-3}{\sqrt{1-9x^2}} \ln x + \cos^{-1}(3x) \cdot \frac{1}{x}$

両辺に $y$ をかけます。

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{-3 \ln x}{\sqrt{1-9x^2}} + \frac{\cos^{-1}(3x)}{x} \right)$

$y = x^{\cos^{-1}(3x)}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\cos^{-1}(3x)} \left( \frac{-3 \ln x}{\sqrt{1-9x^2}} + \frac{\cos^{-1}(3x)}{x} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^{\cos^{-1}(3x)} \left( \frac{\cos^{-1}(3x)}{x} - \frac{3 \ln x}{\sqrt{1-9x^2}} \right)$