曲線 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と x軸で囲まれた部分を、x軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と x軸で囲まれた部分を、x軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めます。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を用いて計算できます。

まず、$x = \sin t$ より、$dx = \cos t \, dt$ となります。

また、$y = \sin 2t = 2 \sin t \cos t$ です。

回転体の体積 $V$ は、次の積分で与えられます。

$V = \pi \int y^2 dx$

ここで、$x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化します。

したがって、$V$ は次のように表せます。

$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2 \sin t \cos t)^2 \cos t \, dt$

$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 \sin^2 t \cos^3 t \, dt$

$V = 4 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cos^2 t \cos t \, dt$

$V = 4 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t (1 - \sin^2 t) \cos t \, dt$

ここで、$u = \sin t$ と置換すると、$du = \cos t \, dt$ となります。

$t = 0$ のとき $u = \sin 0 = 0$ であり、$t = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$V = 4 \pi \int_{0}^{1} u^2 (1 - u^2) \, du$

$V = 4 \pi \int_{0}^{1} (u^2 - u^4) \, du$

$V = 4 \pi \left[ \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} \right]_{0}^{1}$

$V = 4 \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)$

$V = 4 \pi \left( \frac{5 - 3}{15} \right)$

$V = 4 \pi \left( \frac{2}{15} \right)$

$V = \frac{8 \pi}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{8 \pi}{15}$