(4) 定積分 $\int_{2}^{e+1} \frac{dy}{1-y}$ を計算します。 (5) 定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin{\theta} d\theta$ を計算します。 (6) 定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{t} dt$ を計算します。

わかりました。3つの積分問題を解きます。

1. 問題の内容

(4) 定積分 $\int_{2}^{e+1} \frac{dy}{1-y}$ を計算します。

(5) 定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin{\theta} d\theta$ を計算します。

(6) 定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{t} dt$ を計算します。

2. 解き方の手順

(4)

まず、不定積分 $\int \frac{1}{1-y} dy$ を計算します。 $u = 1-y$ と置換すると、$du = -dy$ となるので、

$\int \frac{1}{1-y} dy = \int \frac{-1}{u} du = -\ln{|u|} + C = -\ln{|1-y|} + C$

したがって、定積分は

$\int_{2}^{e+1} \frac{dy}{1-y} = [-\ln{|1-y|}]_{2}^{e+1} = -\ln{|1-(e+1)|} - (-\ln{|1-2|}) = -\ln{|-e|} + \ln{|-1|} = -\ln{e} + \ln{1} = -1 + 0 = -1$

(5)

$\int_{0}^{\pi} \sin{\theta} d\theta = [-\cos{\theta}]_{0}^{\pi} = -\cos{\pi} - (-\cos{0}) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

(6)

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{t} dt = [\sin{t}]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin{\frac{\pi}{2}} - \sin{(-\frac{\pi}{2})} = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

(4) -1

(5) 2

(6) 2