与えられた関数を微分します。 (1) $y = \frac{x^2 + 1}{3x + 1}$ (2) $y = (e^{3x} + 7)^5$ (3) $y = \log{\frac{(x^5 + 1)^4}{x + 1}}$ (4) $y = (2x + 5) \sin{3x}$

はい、承知いたしました。以下の形式で、与えられた問題の微分を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分します。

(1) $y = \frac{x^2 + 1}{3x + 1}$

(2) $y = (e^{3x} + 7)^5$

(3) $y = \log{\frac{(x^5 + 1)^4}{x + 1}}$

(4) $y = (2x + 5) \sin{3x}$

2. 解き方の手順

(1) 商の微分公式を利用します。$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = x^2 + 1$, $u' = 2x$

$v = 3x + 1$, $v' = 3$

よって、

$y' = \frac{2x(3x + 1) - (x^2 + 1)3}{(3x + 1)^2} = \frac{6x^2 + 2x - 3x^2 - 3}{(3x + 1)^2} = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x + 1)^2}$

(2) 合成関数の微分を利用します。

$y' = 5(e^{3x} + 7)^4 \cdot (e^{3x} + 7)' = 5(e^{3x} + 7)^4 \cdot 3e^{3x} = 15e^{3x}(e^{3x} + 7)^4$

(3) 対数の性質を利用して式を簡単にしてから微分します。$\log{\frac{a}{b}} = \log{a} - \log{b}$, $\log{a^n} = n\log{a}$

$y = \log{(x^5 + 1)^4} - \log{(x + 1)} = 4\log{(x^5 + 1)} - \log{(x + 1)}$

$y' = 4 \cdot \frac{1}{x^5 + 1} \cdot (x^5 + 1)' - \frac{1}{x + 1} = \frac{4 \cdot 5x^4}{x^5 + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{20x^4}{x^5 + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{20x^4(x + 1) - (x^5 + 1)}{(x^5 + 1)(x + 1)} = \frac{20x^5 + 20x^4 - x^5 - 1}{(x^5 + 1)(x + 1)} = \frac{19x^5 + 20x^4 - 1}{(x^5 + 1)(x + 1)}$

(4) 積の微分公式を利用します。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = 2x + 5$, $u' = 2$

$v = \sin{3x}$, $v' = 3\cos{3x}$

$y' = 2\sin{3x} + (2x + 5) \cdot 3\cos{3x} = 2\sin{3x} + (6x + 15)\cos{3x}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x + 1)^2}$

(2) $y' = 15e^{3x}(e^{3x} + 7)^4$

(3) $y' = \frac{19x^5 + 20x^4 - 1}{(x^5 + 1)(x + 1)}$

(4) $y' = 2\sin{3x} + (6x + 15)\cos{3x}$