次の積分を求めます。 (1) $\int \sin(3x) \sin(2x) dx$ (6) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos(\frac{x}{3}) - \sin(2x)) dx$

1. 問題の内容

次の積分を求めます。

(1) $\int \sin(3x) \sin(2x) dx$

(6) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos(\frac{x}{3}) - \sin(2x)) dx$

2. 解き方の手順

(1) 積和の公式を利用します。

$\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$

これを用いると、

$\sin(3x) \sin(2x) = \frac{1}{2}(\cos(3x-2x) - \cos(3x+2x)) = \frac{1}{2}(\cos(x) - \cos(5x))$

よって、積分は

$\int \sin(3x) \sin(2x) dx = \int \frac{1}{2}(\cos(x) - \cos(5x)) dx = \frac{1}{2} \int \cos(x) dx - \frac{1}{2} \int \cos(5x) dx$

$\frac{1}{2} \int \cos(x) dx = \frac{1}{2} \sin(x) + C_1$

$\frac{1}{2} \int \cos(5x) dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \sin(5x) + C_2 = \frac{1}{10} \sin(5x) + C_2$

したがって、

$\int \sin(3x) \sin(2x) dx = \frac{1}{2} \sin(x) - \frac{1}{10} \sin(5x) + C$

(6) まず、不定積分を求めます。

$\int (\cos(\frac{x}{3}) - \sin(2x)) dx = \int \cos(\frac{x}{3}) dx - \int \sin(2x) dx$

$\int \cos(\frac{x}{3}) dx = 3\sin(\frac{x}{3}) + C_1$

$\int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C_2$

したがって、

$\int (\cos(\frac{x}{3}) - \sin(2x)) dx = 3\sin(\frac{x}{3}) + \frac{1}{2}\cos(2x) + C$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos(\frac{x}{3}) - \sin(2x)) dx = [3\sin(\frac{x}{3}) + \frac{1}{2}\cos(2x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= (3\sin(\frac{\pi}{6}) + \frac{1}{2}\cos(\pi)) - (3\sin(0) + \frac{1}{2}\cos(0))$

$= (3 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(-1)) - (0 + \frac{1}{2}(1)) = (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \sin(x) - \frac{1}{10} \sin(5x) + C$

(6) $\frac{1}{2}$