$a > 0$ である定数 $a$ に対して、関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - a^2 x - \frac{2}{3} a^3$ が与えられている。 (1) $y = |f(x)|$ のグラフの概形を描け。 (2) $-1 \le x \le 1$ における関数 $|f(x)|$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ である定数 $a$ に対して、関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - a^2 x - \frac{2}{3} a^3$ が与えられている。

(1) $y = |f(x)|$ のグラフの概形を描け。

(2) $-1 \le x \le 1$ における関数 $|f(x)|$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = |f(x)|$ のグラフを描くために、まず $f(x)$ のグラフを描く。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分を計算する。

$f'(x) = x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = a, -a$ のとき。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -a | ... | a | ... |

| :--- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$f(-a) = \frac{1}{3}(-a)^3 - a^2(-a) - \frac{2}{3}a^3 = -\frac{1}{3}a^3 + a^3 - \frac{2}{3}a^3 = 0$

$f(a) = \frac{1}{3}a^3 - a^2(a) - \frac{2}{3}a^3 = \frac{1}{3}a^3 - a^3 - \frac{2}{3}a^3 = - \frac{4}{3} a^3$

$y = f(x)$ のグラフは、$x = -a$ で極大値 0, $x = a$ で極小値 $-\frac{4}{3} a^3$ をとる3次関数である。

$|f(x)|$ のグラフは、$f(x)$ のグラフの $x$ 軸より下の部分を $x$ 軸に関して折り返したものである。特に，$y = |f(x)|$ は $x = a$ で極大値 $\frac{4}{3}a^3$ をとる。

(2) $-1 \le x \le 1$ における $|f(x)|$ の最大値を求める。

$f(-1) = -\frac{1}{3} + a^2 - \frac{2}{3} a^3$

$f(1) = \frac{1}{3} - a^2 - \frac{2}{3} a^3$

$|f(x)|$ の最大値を求めるには、 $|f(-1)|$, $|f(1)|$, そして、 $|f(x)|$ の極大値 $\frac{4}{3} a^3$ を比較する必要がある。ただし、$-1 \le a \le 1$ である必要がある。

場合分けが必要となる。

(i) $0 < a \le 1$ のとき、$x = a$ は $-1 \le x \le 1$ に含まれる。

$f(1) = \frac{1}{3} - a^2 - \frac{2}{3} a^3 < 0$ より、 $|f(1)| = -\frac{1}{3} + a^2 + \frac{2}{3} a^3$.

このとき、$\frac{4}{3} a^3$ と比較する。

(ii) $a > 1$ のとき、$x = a$ は $-1 \le x \le 1$ に含まれない。この区間では単調減少または単調増加となる。

$f(-1) = -\frac{1}{3} + a^2 - \frac{2}{3} a^3$

$f(1) = \frac{1}{3} - a^2 - \frac{2}{3} a^3 < 0$ より $|f(1)| = -\frac{1}{3} + a^2 + \frac{2}{3} a^3$.

$|f(-1)| = \left|-\frac{1}{3} + a^2 - \frac{2}{3} a^3\right|$

$|f(1)| = \left|\frac{1}{3} - a^2 - \frac{2}{3} a^3\right|$

$a > 1$ のとき、$|f(1)| > |f(-1)|$ となるので、 $|f(1)| = a^2 + \frac{2}{3} a^3 - \frac{1}{3}$.

区間 $-1 \le x \le 1$ で $|f(x)|$ の最大値は、$a > 1$ のとき、$a^2 + \frac{2}{3} a^3 - \frac{1}{3}$ となる。

$0 < a \le 1$ のとき、$\frac{4}{3}a^3$となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = |f(x)|$ のグラフの概形は省略。（増減表と極値で判断できる）

(2) $-1 \le x \le 1$ における $|f(x)|$ の最大値は、

$0 < a \le 1$ のとき $\frac{4}{3}a^3$

$a > 1$ のとき $a^2 + \frac{2}{3}a^3 - \frac{1}{3}$