与えられた3つの不等式を示す問題です。 (1) $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} < \sin x < x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}$ ($0 < x < \pi$) (2) $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} < e^x$ ($0 < x$, $n \in \mathbb{N}$) (3) $e^x < \frac{1}{1-x}$ ($0 < x < 1$)

1. 問題の内容

与えられた3つの不等式を示す問題です。

(1) $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} < \sin x < x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}$ ($0 < x < \pi$)

(2) $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} < e^x$ ($0 < x$, $n \in \mathbb{N}$)

(3) $e^x < \frac{1}{1-x}$ ($0 < x < 1$)

2. 解き方の手順

(1) の不等式について:

$\sin x$ のマクローリン展開は次の通りです。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \dots$

この展開の最初のいくつかの項を使うことで、$\sin x$ を近似できます。与えられた不等式は、$\sin x$ のマクローリン展開をある項で打ち切った近似の精度を示しています。

$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} < \sin x$は、展開の打ち切り誤差が正になるように、十分多くの項を取ることで示すことができます。具体的には、$\sin x$ のマクローリン展開は交代級数であり、$0 < x < \pi$において各項の絶対値は減少していくため、Leibnizの交代級数判定法を用いることで証明できます。

同様に、$\sin x < x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}$ は、展開の打ち切り誤差が負になるように示すことができます。

(2) の不等式について:

$e^x$ のマクローリン展開は次の通りです。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$

$0 < x$ において、各項 $\frac{x^k}{k!}$ は正であるため、最初の $n$ 項の和は $e^x$ より小さくなります。すなわち、

$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} < e^x$

(3) の不等式について:

$e^x$ のマクローリン展開を考えることで、$e^x > 1+x+\frac{x^2}{2}$ がわかります。

また、$\frac{1}{1-x}$ は等比級数で展開できます。

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} x^k$ ($|x| < 1$)

$e^x$ のマクローリン展開と $\frac{1}{1-x}$ の等比級数展開を比較します。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$

$0 < x < 1$ のとき、$\frac{1}{k!} < 1$ ($k \geq 2$) ですから、$e^x < \frac{1}{1-x}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} < \sin x < x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}$ ($0 < x < \pi$) が示された。

(2) $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} < e^x$ ($0 < x$, $n \in \mathbb{N}$) が示された。

(3) $e^x < \frac{1}{1-x}$ ($0 < x < 1$) が示された。