与えられた3つの定積分を計算します。 (1) $\int_{-2}^{-1} (x+1)(2x+3)^2 dx$ (2) $\int_{-1}^{0} \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx$ (3) $\int_{1/2}^{1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx$

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算します。

(1) $\int_{-2}^{-1} (x+1)(2x+3)^2 dx$

(2) $\int_{-1}^{0} \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx$

(3) $\int_{1/2}^{1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-2}^{-1} (x+1)(2x+3)^2 dx$

まず、積分の中身を展開します。

$(x+1)(2x+3)^2 = (x+1)(4x^2 + 12x + 9) = 4x^3 + 12x^2 + 9x + 4x^2 + 12x + 9 = 4x^3 + 16x^2 + 21x + 9$

したがって、積分は

$\int_{-2}^{-1} (4x^3 + 16x^2 + 21x + 9) dx$

$= [x^4 + \frac{16}{3}x^3 + \frac{21}{2}x^2 + 9x]_{-2}^{-1}$

$= (1 - \frac{16}{3} + \frac{21}{2} - 9) - (16 - \frac{128}{3} + \frac{42}{2} - 18)$

$= 1 - \frac{16}{3} + \frac{21}{2} - 9 - 16 + \frac{128}{3} - 21 + 18$

$= -27 + \frac{112}{3} - \frac{21}{2}$

$= \frac{-162 + 224 - 63}{6} = \frac{-1}{6}$

(2) $\int_{-1}^{0} \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx$

$u = 1 - 3x$ と置換すると、$du = -3dx$ となり、$x = \frac{1-u}{3}$ となります。

積分範囲は、$x = -1$ のとき $u = 4$ で、$x = 0$ のとき $u = 1$ です。

したがって、積分は

$\int_{4}^{1} \frac{1-u}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{3}) du = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} (u^{-1/2} - u^{1/2}) du$

$= \frac{1}{3} [2u^{1/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}]_{1}^{4}$

$= \frac{1}{3} [(2(2) - \frac{2}{3}(8)) - (2 - \frac{2}{3})] = \frac{1}{3} [(4 - \frac{16}{3}) - (\frac{4}{3})]$

$= \frac{1}{3} [\frac{12 - 16 - 4}{3}] = \frac{1}{3} [\frac{-8}{3}] = -\frac{8}{9}$

(3) $\int_{1/2}^{1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx$

$u = \frac{1}{x}$ と置換すると、$du = -\frac{1}{x^2} dx$ となり、$\frac{1}{x^2} dx = -du$ となります。

積分範囲は、$x = \frac{1}{2}$ のとき $u = 2$ で、$x = 1$ のとき $u = 1$ です。

したがって、積分は

$\int_{2}^{1} e^u (-du) = \int_{1}^{2} e^u du = [e^u]_{1}^{2} = e^2 - e^1 = e^2 - e$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{6}$

(2) $-\frac{8}{9}$

(3) $e^2 - e$