定積分 $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x^2} dx$ の値を求め、与えられた形式 $\text{ア} + \frac{\text{イ}}{e}$ で表したときのアとイの値を答える。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x^2} dx$ の値を求め、与えられた形式 $\text{ア} + \frac{\text{イ}}{e}$ で表したときのアとイの値を答える。

2. 解き方の手順

まず、部分積分を使って定積分を計算する。

$u = \log x$, $dv = \frac{1}{x^2} dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = -\frac{1}{x}$ となる。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

$\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x^2} dx = \left[-\frac{\log x}{x}\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} dx = \left[-\frac{\log x}{x}\right]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} dx$

$\left[-\frac{\log x}{x}\right]_{1}^{e} = -\frac{\log e}{e} - \left(-\frac{\log 1}{1}\right) = -\frac{1}{e} - 0 = -\frac{1}{e}$

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{e} = -\frac{1}{e} - (-1) = 1 - \frac{1}{e}$

したがって、

$\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x^2} dx = -\frac{1}{e} + 1 - \frac{1}{e} = 1 - \frac{2}{e}$

与えられた形式 $\text{ア} + \frac{\text{イ}}{e}$ と比較すると、$\text{ア} = 1$、$\text{イ} = -2$ となる。

3. 最終的な答え

ア = 1

イ = -2