不定積分 $\int x^3 \log x \, dx$ を計算し、結果の形式が $\frac{x^4}{\text{ア}}\log x - \frac{x^4}{\text{イ}} + C$となるように、アとイに入る数字を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int x^3 \log x \, dx$ を計算し、結果の形式が $\frac{x^4}{\text{ア}}\log x - \frac{x^4}{\text{イ}} + C$となるように、アとイに入る数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を使って計算します。

$u = \log x$, $dv = x^3 dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4}$

となるので、

$$\int x^3 \log x \, dx = \int u \, dv = uv - \int v \, du = \frac{x^4}{4} \log x - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$

$$= \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} + C$$

$$= \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16} + C$$

したがって、アは4、イは16となります。

3. 最終的な答え

ア = 4

イ = 16