定積分 $\int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^2 - 4x - 1) dx$ の値を、偶関数・奇関数の性質を用いて求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^2 - 4x - 1) dx$ の値を、偶関数・奇関数の性質を用いて求めます。

2. 解き方の手順

偶関数・奇関数の性質を利用します。

- 奇関数 $f(x)$ について、$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ が成り立ちます。

- 偶関数 $g(x)$ について、$\int_{-a}^{a} g(x) dx = 2\int_{0}^{a} g(x) dx$ が成り立ちます。

与えられた関数を $f(x) = x^5 + 3x^2 - 4x - 1$ とします。

$x^5$ は奇関数、$3x^2$ は偶関数、$-4x$ は奇関数、$-1$ は偶関数です。

したがって、

$\int_{-2}^{2} x^5 dx = 0$

$\int_{-2}^{2} -4x dx = 0$

$\int_{-2}^{2} f(x) dx = \int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^2 - 4x - 1) dx$

$= \int_{-2}^{2} x^5 dx + \int_{-2}^{2} 3x^2 dx + \int_{-2}^{2} -4x dx + \int_{-2}^{2} -1 dx$

$= 0 + 2\int_{0}^{2} 3x^2 dx + 0 + 2\int_{0}^{2} -1 dx$

$= 2\int_{0}^{2} 3x^2 dx + 2\int_{0}^{2} -1 dx$

$= 2[x^3]_{0}^{2} + 2[-x]_{0}^{2}$

$= 2(2^3 - 0^3) + 2(-2 - (-0))$

$= 2(8) + 2(-2)$

$= 16 - 4$

$= 12$

3. 最終的な答え

12