パラメータ $t$ で表された曲線 $r(t) = (a(t - \sin t), a(1 + \cos t))$ について、以下の問題を解く。 (1) 曲線を $r = (x(t), y(t))$ の形で表す。 (2) $\frac{dr}{dt}$ を計算する。 (3) 弧長パラメータ $s$ を $ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}$ で定義し、$\frac{ds}{dt}$ を $t$ の関数として表す。 (4) 接線ベクトル $t = \frac{dr}{ds}$ を計算し、$\sin \frac{t}{2}$ と $\cos \frac{t}{2}$ を使って表す。 (5) $\frac{dt}{ds}$ を計算し、曲率 $\kappa = |\frac{dt}{ds}|$ を $t$ の関数として表す。 (6) 曲率半径 $\rho$ の最大値と最小値を求め、曲率半径が最大または最小となる点を図中に示す。 (7) 主法線ベクトル $n$ を $t$ の関数として表す。

1. 問題の内容

パラメータ $t$ で表された曲線 $r(t) = (a(t - \sin t), a(1 + \cos t))$ について、以下の問題を解く。

(1) 曲線を $r = (x(t), y(t))$ の形で表す。

(2) $\frac{dr}{dt}$ を計算する。

(3) 弧長パラメータ $s$ を $ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}$ で定義し、$\frac{ds}{dt}$ を $t$ の関数として表す。

(4) 接線ベクトル $t = \frac{dr}{ds}$ を計算し、$\sin \frac{t}{2}$ と $\cos \frac{t}{2}$ を使って表す。

(5) $\frac{dt}{ds}$ を計算し、曲率 $\kappa = |\frac{dt}{ds}|$ を $t$ の関数として表す。

(6) 曲率半径 $\rho$ の最大値と最小値を求め、曲率半径が最大または最小となる点を図中に示す。

(7) 主法線ベクトル $n$ を $t$ の関数として表す。

2. 解き方の手順

(1) $r(t) = (a(t - \sin t), a(1 + \cos t))$

(2) $\frac{dr}{dt} = (a(1 - \cos t), -a \sin t)$

(3)

$\begin{aligned}

ds &= \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt \\

&= \sqrt{(a(1 - \cos t))^2 + (-a \sin t)^2} dt \\

&= \sqrt{a^2 (1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t)} dt \\

&= \sqrt{a^2 (2 - 2\cos t)} dt = a\sqrt{2(1-\cos t)} dt \\

&= a\sqrt{2(2\sin^2 \frac{t}{2})} dt = 2a|\sin \frac{t}{2}| dt

\end{aligned}$

$0 \le t \le 2\pi$ より $0 \le \frac{t}{2} \le \pi$ なので、 $\sin \frac{t}{2} \ge 0$ である。

したがって、

$\frac{ds}{dt} = 2a \sin \frac{t}{2}$

(4)

$\begin{aligned}

t &= \frac{dr}{ds} = \frac{dr}{dt} \frac{dt}{ds} = \frac{\frac{dr}{dt}}{\frac{ds}{dt}} = \frac{(a(1 - \cos t), -a \sin t)}{2a \sin \frac{t}{2}} \\

&= \frac{(a(2 \sin^2 \frac{t}{2}), -2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2})}{2a \sin \frac{t}{2}} = (\frac{2a \sin^2 \frac{t}{2}}{2a \sin \frac{t}{2}}, \frac{-2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2a \sin \frac{t}{2}}) \\

&= (\sin \frac{t}{2}, - \cos \frac{t}{2})

\end{aligned}$

(5)

$\begin{aligned}

\frac{dt}{ds} &= \frac{dt}{dt} \frac{dt}{ds} = \frac{\frac{dt}{dt}}{\frac{ds}{dt}} = \frac{(\frac{1}{2} \cos \frac{t}{2}, \frac{1}{2} \sin \frac{t}{2})}{2a \sin \frac{t}{2}} \\

&= (\frac{\cos \frac{t}{2}}{4a \sin \frac{t}{2}}, \frac{\sin \frac{t}{2}}{4a \sin \frac{t}{2}}) = \frac{1}{4a} (\frac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}}, \frac{1}{1})

\end{aligned}$

$\kappa = |\frac{dt}{ds}| = \frac{1}{4a} \sqrt{(\frac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}})^2 + 1} = \frac{1}{4a} \sqrt{\frac{\cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2}}{\sin^2 \frac{t}{2}}} = \frac{1}{4a|\sin \frac{t}{2}|} = \frac{1}{4a \sin \frac{t}{2}}$

(6) $\rho = \frac{1}{\kappa} = 4a \sin \frac{t}{2}$

$0 \le t \le 2\pi$ より $0 \le \frac{t}{2} \le \pi$ であり、 $\sin \frac{t}{2}$ の最大値は 1 ($t = \pi$ の時)で、最小値は 0 ($t = 0, 2\pi$の時)。

したがって、$\rho$ の最大値は $4a$ ($t = \pi$の時)、最小値は $0$ ($t = 0, 2\pi$の時)。

(7)

$n = \frac{\frac{dt}{ds}}{|\frac{dt}{ds}|} = \frac{\frac{1}{4a \sin \frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cos \frac{t}{2}, \frac{1}{2} \sin \frac{t}{2})}{\frac{1}{4a \sin \frac{t}{2}}} = (\cos \frac{t}{2}, \sin \frac{t}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $r(t) = (a(t - \sin t), a(1 + \cos t))$

(2) $\frac{dr}{dt} = (a(1 - \cos t), -a \sin t)$

(3) $\frac{ds}{dt} = 2a \sin \frac{t}{2}$

(4) $t = (\sin \frac{t}{2}, - \cos \frac{t}{2})$

(5) $\kappa = \frac{1}{4a \sin \frac{t}{2}}$

(6) 最大値: $4a$ ($t = \pi$の時)、最小値: $0$ ($t = 0, 2\pi$の時)

(7) $n = (\cos \frac{t}{2}, \sin \frac{t}{2})$