与えられた積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ を計算し、その結果が $\sin^{-1} \frac{x}{|a|}$ であることを示す問題です。ただし、$a \neq 0$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ を計算し、その結果が $\sin^{-1} \frac{x}{|a|}$ であることを示す問題です。ただし、$a \neq 0$ です。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

ステップ1: $x = a \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = a \cos \theta d\theta$ となります。

ステップ2: 置換した式を積分に代入します。

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \int \frac{a \cos \theta d\theta}{\sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta}} = \int \frac{a \cos \theta d\theta}{\sqrt{a^2(1 - \sin^2 \theta)}}$$

ステップ3: $\sqrt{a^2} = |a|$ であることに注意して、式を簡略化します。

$$\int \frac{a \cos \theta d\theta}{|a|\sqrt{\cos^2 \theta}} = \int \frac{a \cos \theta}{|a| \cos \theta} d\theta = \int \frac{a}{|a|} d\theta$$

ステップ4: $a > 0$ の場合、$\frac{a}{|a|} = 1$ となり、$a < 0$ の場合、$\frac{a}{|a|} = -1$ となります。ただし、ここでは $a > 0$ の場合を考えて計算を進めます。

$$\int 1 d\theta = \theta + C$$

ステップ5: $\theta$ を $x$ に戻します。$x = a \sin \theta$ より、$\sin \theta = \frac{x}{a}$ なので、$\theta = \sin^{-1} \frac{x}{a}$ となります。

ステップ6: $a<0$ の場合を考慮すると、

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1} \frac{x}{|a|} + C$$

3. 最終的な答え

$\sin^{-1} \frac{x}{|a|} + C$