問題は、スカラー場 $f$ が与えられたときに、その勾配 $\text{grad} f$ を求める問題、及びベクトル $\mathbf{r} = (x, y, z)$ と $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ が与えられたときに、以下の量を計算する問題です。 (1) $\text{grad}(r^2)$ (2) $\text{grad}(\frac{1}{r})$ (3) $\text{grad}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{r})$

はい、了解しました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題は、スカラー場 $f$ が与えられたときに、その勾配 $\text{grad} f$ を求める問題、及びベクトル $\mathbf{r} = (x, y, z)$ と $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ が与えられたときに、以下の量を計算する問題です。

(1) $\text{grad}(r^2)$

(2) $\text{grad}(\frac{1}{r})$

(3) $\text{grad}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{r})$

2. 解き方の手順

(1) $\text{grad}(r^2)$ の計算：

$r^2 = x^2 + y^2 + z^2$ であるから、

$\text{grad}(r^2) = \left( \frac{\partial r^2}{\partial x}, \frac{\partial r^2}{\partial y}, \frac{\partial r^2}{\partial z} \right) = (2x, 2y, 2z) = 2\mathbf{r}$

(2) $\text{grad}(\frac{1}{r})$ の計算：

$\frac{1}{r} = (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2}}$ であるから、

$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{r} \right) = -\frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x = -\frac{x}{r^3}$

同様に、

$\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{r} \right) = -\frac{y}{r^3}$

$\frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{1}{r} \right) = -\frac{z}{r^3}$

よって、

$\text{grad}\left( \frac{1}{r} \right) = \left( -\frac{x}{r^3}, -\frac{y}{r^3}, -\frac{z}{r^3} \right) = -\frac{1}{r^3} (x, y, z) = -\frac{\mathbf{r}}{r^3}$

(3) $\text{grad}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{r})$ の計算：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{r} = a_x x + a_y y + a_z z$ であるから、

$\text{grad}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{r}) = \left( \frac{\partial (a_x x + a_y y + a_z z)}{\partial x}, \frac{\partial (a_x x + a_y y + a_z z)}{\partial y}, \frac{\partial (a_x x + a_y y + a_z z)}{\partial z} \right) = (a_x, a_y, a_z) = \mathbf{a}$

3. 最終的な答え

(1) $\text{grad}(r^2) = 2\mathbf{r}$

(2) $\text{grad}(\frac{1}{r}) = -\frac{\mathbf{r}}{r^3}$

(3) $\text{grad}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{r}) = \mathbf{a}$