$\int \sin^{-1} x dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \sin^{-1} x dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解きます。部分積分の公式は次の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

ここで、$u = \sin^{-1} x$、$dv = dx$ とします。すると、

$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$、$v = x$

となります。

したがって、

$\int \sin^{-1} x dx = x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

次に、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。$t = 1-x^2$ と置換すると、$dt = -2x dx$ となります。したがって、$x dx = -\frac{1}{2} dt$ となります。

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} (-\frac{1}{2}) dt = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -t^{1/2} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

したがって、

$\int \sin^{-1} x dx = x \sin^{-1} x - (-\sqrt{1-x^2}) + C = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

$x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$