与えられた重積分 $I$ の値を計算します。 $I = \int_{0}^{2} \int_{\frac{1-\sqrt{1+4y}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{1+4y}}{2}} (x^2 + y) dx dy$

1. 問題の内容

与えられた重積分 $I$ の値を計算します。

$I = \int_{0}^{2} \int_{\frac{1-\sqrt{1+4y}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{1+4y}}{2}} (x^2 + y) dx dy$

2. 解き方の手順

まず、$x$ に関する積分を計算します。

$\int (x^2 + y) dx = \frac{x^3}{3} + yx + C$

したがって、

$\int_{\frac{1-\sqrt{1+4y}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{1+4y}}{2}} (x^2 + y) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + yx \right]_{\frac{1-\sqrt{1+4y}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{1+4y}}{2}}$

$= \left( \frac{(\frac{1+\sqrt{1+4y}}{2})^3}{3} + y(\frac{1+\sqrt{1+4y}}{2}) \right) - \left( \frac{(\frac{1-\sqrt{1+4y}}{2})^3}{3} + y(\frac{1-\sqrt{1+4y}}{2}) \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{(1+\sqrt{1+4y})^3}{8} - \frac{(1-\sqrt{1+4y})^3}{8} \right) + \frac{y}{2} \left( (1+\sqrt{1+4y}) - (1-\sqrt{1+4y}) \right)$

$= \frac{1}{24} \left( (1+\sqrt{1+4y})^3 - (1-\sqrt{1+4y})^3 \right) + \frac{y}{2} (2\sqrt{1+4y})$

$= \frac{1}{24} \left( (1 + 3\sqrt{1+4y} + 3(1+4y) + (1+4y)\sqrt{1+4y}) - (1 - 3\sqrt{1+4y} + 3(1+4y) - (1+4y)\sqrt{1+4y}) \right) + y\sqrt{1+4y}$

$= \frac{1}{24} \left( 6\sqrt{1+4y} + 2(1+4y)\sqrt{1+4y} \right) + y\sqrt{1+4y}$

$= \frac{1}{12} \left( 3\sqrt{1+4y} + (1+4y)\sqrt{1+4y} \right) + y\sqrt{1+4y}$

$= \frac{3}{12} \sqrt{1+4y} + \frac{1}{12} (1+4y)\sqrt{1+4y} + y\sqrt{1+4y}$

$= \frac{1}{4} \sqrt{1+4y} + \frac{1}{12} \sqrt{1+4y} + \frac{1}{3} y\sqrt{1+4y} + y\sqrt{1+4y}$

$= \frac{1}{3} \sqrt{1+4y} + \frac{4}{3} y\sqrt{1+4y} = \frac{1}{3} (1+4y) \sqrt{1+4y} = \frac{1}{3} (1+4y)^{3/2}$

次に、$y$ に関する積分を計算します。

$\int_{0}^{2} \frac{1}{3} (1+4y)^{3/2} dy = \frac{1}{3} \int_{0}^{2} (1+4y)^{3/2} dy$

$t = 1+4y$ とおくと、$dt = 4 dy$, $dy = \frac{1}{4} dt$

$y=0$ のとき $t=1$, $y=2$ のとき $t=9$

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} t^{3/2} \frac{1}{4} dt = \frac{1}{12} \int_{1}^{9} t^{3/2} dt = \frac{1}{12} \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} \right]_{1}^{9} = \frac{1}{30} \left[ t^{5/2} \right]_{1}^{9} = \frac{1}{30} (9^{5/2} - 1^{5/2})$

$= \frac{1}{30} ((\sqrt{9})^5 - 1) = \frac{1}{30} (3^5 - 1) = \frac{1}{30} (243 - 1) = \frac{242}{30} = \frac{121}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{121}{15}$