関数 $f(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^2 + 2 = 0$ によって定まる陰関数の極値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^2 + 2 = 0$ によって定まる陰関数の極値を求める。

2. 解き方の手順

陰関数定理により、$f(x,y) = 0$ の近傍で $y$ が $x$ の関数として表されるとする。

この陰関数を $y = y(x)$ と書く。極値を与える条件は $\frac{dy}{dx} = 0$ である。

$f(x, y) = 0$ を $x$ で微分すると、

$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0$

である。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x + 3y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 2y$

したがって、

$4x + 3y + (3x + 2y) \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = 0$ のとき、

$4x + 3y = 0$

$y = -\frac{4}{3}x$

これを $f(x, y) = 0$ に代入すると、

$2x^2 + 3x(-\frac{4}{3}x) + (-\frac{4}{3}x)^2 + 2 = 0$

$2x^2 - 4x^2 + \frac{16}{9}x^2 + 2 = 0$

$-2x^2 + \frac{16}{9}x^2 = -2$

$-\frac{2}{9}x^2 = -2$

$x^2 = 9$

$x = \pm 3$

$x = 3$ のとき、$y = -\frac{4}{3}(3) = -4$

$x = -3$ のとき、$y = -\frac{4}{3}(-3) = 4$

極値は、$f(x,y) = 0$ 上の $(3, -4)$ と $(-3, 4)$ である。

$y = y(x)$ が $x$ の関数として与えられているとき，$y$ の極値を求めるために2階微分を計算する必要がある。

$4x + 3y + (3x + 2y) \frac{dy}{dx} = 0$ をさらに$x$で微分すると、

$4 + 3\frac{dy}{dx} + (3 + 2\frac{dy}{dx})\frac{dy}{dx} + (3x+2y)\frac{d^2y}{dx^2} = 0$

極値の条件から$\frac{dy}{dx}=0$なので、

$4+ 3(0) + (3 + 2(0))(0) + (3x+2y)\frac{d^2y}{dx^2} = 0$

$4 + (3x + 2y)\frac{d^2y}{dx^2} = 0$

$\frac{d^2y}{dx^2} = - \frac{4}{3x + 2y}$

点 $(3, -4)$ において、$\frac{d^2y}{dx^2} = - \frac{4}{3(3) + 2(-4)} = -\frac{4}{9-8} = -4 < 0$ であるから、極大値を取る。

点 $(-3, 4)$ において、$\frac{d^2y}{dx^2} = - \frac{4}{3(-3) + 2(4)} = -\frac{4}{-9+8} = 4 > 0$ であるから、極小値を取る。

$(3, -4)$ において、 $y = -4$ は極大値である。

$(-3, 4)$ において、$y = 4$ は極小値である。

3. 最終的な答え

陰関数の極大値は $y=-4$ （$x=3$ のとき）、極小値は $y=4$ （$x=-3$ のとき）である。