与えられた積分 $\int \sqrt{x^2 + a} dx$ を計算し、その結果が $\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 + a} + a \log |x + \sqrt{x^2 + a}|)$ であることを確認する。ここで、$a \neq 0$ である。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sqrt{x^2 + a} dx$ を計算し、その結果が $\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 + a} + a \log |x + \sqrt{x^2 + a}|)$ であることを確認する。ここで、$a \neq 0$ である。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて、積分 $\int \sqrt{x^2 + a} dx$ を計算する。

まず、$u = \sqrt{x^2 + a}$、$dv = dx$ とおく。

このとき、$du = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}} dx$、$v = x$ となる。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int \sqrt{x^2 + a} dx = x\sqrt{x^2 + a} - \int x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}} dx$

$= x\sqrt{x^2 + a} - \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + a}} dx$

$= x\sqrt{x^2 + a} - \int \frac{x^2 + a - a}{\sqrt{x^2 + a}} dx$

$= x\sqrt{x^2 + a} - \int \frac{x^2 + a}{\sqrt{x^2 + a}} dx + \int \frac{a}{\sqrt{x^2 + a}} dx$

$= x\sqrt{x^2 + a} - \int \sqrt{x^2 + a} dx + a \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} dx$

ここで、$\int \sqrt{x^2 + a} dx$ を左辺に移項すると、

$2 \int \sqrt{x^2 + a} dx = x\sqrt{x^2 + a} + a \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} dx$

$\int \sqrt{x^2 + a} dx = \frac{1}{2} x\sqrt{x^2 + a} + \frac{a}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} dx$

積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} dx$ は $\log |x + \sqrt{x^2 + a}| + C$ である。したがって、

$\int \sqrt{x^2 + a} dx = \frac{1}{2} x\sqrt{x^2 + a} + \frac{a}{2} \log |x + \sqrt{x^2 + a}| + C$

3. 最終的な答え

$\int \sqrt{x^2 + a} dx = \frac{1}{2} (x\sqrt{x^2 + a} + a \log |x + \sqrt{x^2 + a}|) + C$