与えられた積分を計算し、その結果を示します。 積分は $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}}$ であり、$a \neq 0$です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算し、その結果を示します。

積分は $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}}$ であり、$a \neq 0$です。

2. 解き方の手順

この積分は、双曲線関数の置換を用いることで解くことができます。

$x = \sqrt{a} \sinh{t}$ と置換すると、$dx = \sqrt{a} \cosh{t} dt$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}} = \int \frac{\sqrt{a} \cosh{t} dt}{\sqrt{a \sinh^2{t} + a}} = \int \frac{\sqrt{a} \cosh{t} dt}{\sqrt{a(\sinh^2{t} + 1)}} = \int \frac{\sqrt{a} \cosh{t} dt}{\sqrt{a} \sqrt{\cosh^2{t}}} = \int \frac{\cosh{t} dt}{\cosh{t}} = \int dt = t + C$

ここで、$x = \sqrt{a} \sinh{t}$ より、$\sinh{t} = \frac{x}{\sqrt{a}}$ です。したがって、$t = \sinh^{-1} (\frac{x}{\sqrt{a}})$ です。

$\sinh^{-1} u = \ln(u + \sqrt{u^2 + 1})$ を用いると、

$t = \ln(\frac{x}{\sqrt{a}} + \sqrt{\frac{x^2}{a} + 1}) = \ln(\frac{x}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{x^2 + a}}{\sqrt{a}}) = \ln(\frac{x + \sqrt{x^2 + a}}{\sqrt{a}}) = \ln(x + \sqrt{x^2 + a}) - \ln(\sqrt{a})$

したがって、

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}} = \ln(x + \sqrt{x^2 + a}) - \ln(\sqrt{a}) + C = \ln|x + \sqrt{x^2 + a}| + C'$

ただし、$C' = C - \ln(\sqrt{a})$ です。

3. 最終的な答え

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}} = \log|x + \sqrt{x^2 + a}| + C$