与えられた積分 $\int \frac{x+2}{\sqrt[3]{x+1}+1}dx$ を計算します。

# (6)

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x+2}{\sqrt[3]{x+1}+1}dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて計算します。

$u = \sqrt[3]{x+1}$ とおくと、$x = u^3 - 1$ となり、$dx = 3u^2 du$ となります。

また、$x+2 = u^3 + 1$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{u^3+1}{u+1} 3u^2 du$

$\int \frac{(u+1)(u^2-u+1)}{u+1} 3u^2 du$

$\int (u^2-u+1) 3u^2 du$

$\int (3u^4 - 3u^3 + 3u^2) du$

$3 \int (u^4 - u^3 + u^2) du$

$3 (\frac{u^5}{5} - \frac{u^4}{4} + \frac{u^3}{3}) + C$

$3 (\frac{(\sqrt[3]{x+1})^5}{5} - \frac{(\sqrt[3]{x+1})^4}{4} + \frac{(\sqrt[3]{x+1})^3}{3}) + C$

$\frac{3}{5} (x+1)^{5/3} - \frac{3}{4} (x+1)^{4/3} + (x+1) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5} (x+1)^{5/3} - \frac{3}{4} (x+1)^{4/3} + (x+1) + C$

# (7)

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-4x}{x}}dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\frac{1-4x}{x} = \frac{1}{x}-4$と変形できます。

置換積分を用いて計算します。

$u = \sqrt{\frac{1-4x}{x}}$ とおくと、$u^2 = \frac{1-4x}{x} = \frac{1}{x} - 4$ となり、$\frac{1}{x} = u^2+4$ となります。

$x = \frac{1}{u^2+4}$ となり、$dx = \frac{-2u}{(u^2+4)^2} du$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int (u^2+4) u \frac{-2u}{(u^2+4)^2} du$

$\int \frac{-2u^2}{u^2+4} du$

$-2 \int \frac{u^2}{u^2+4} du$

$-2 \int \frac{u^2+4-4}{u^2+4} du$

$-2 \int (1-\frac{4}{u^2+4}) du$

$-2 \int 1 du + 8 \int \frac{1}{u^2+4} du$

$-2u + 8 \cdot \frac{1}{2} \arctan(\frac{u}{2}) + C$

$-2u + 4 \arctan(\frac{u}{2}) + C$

$-2\sqrt{\frac{1-4x}{x}} + 4 \arctan(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-4x}{x}}) + C$

3. 最終的な答え

$-2\sqrt{\frac{1-4x}{x}} + 4 \arctan(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-4x}{x}}) + C$