## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた積分問題を解く。具体的には、以下の6つの不定積分を求める。

(1) $\int \frac{x}{(x-3)^2} dx$

(2) $\int x\sqrt{x-2} dx$

(3) $\int (3x+2)\sqrt{x+1} dx$

(4) $\int (x-2)\sqrt{3-2x} dx$

(5) $\int \frac{x-2}{\sqrt{x+1}} dx$

(6) $\int x\sqrt[3]{x+2} dx$

ここでは、(1)と(2)を解く。

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2. 解き方の手順

**(1) $\int \frac{x}{(x-3)^2} dx$**

1. 置換積分を用いる。$t = x-3$ と置くと、$x = t+3$、$dx = dt$ となる。

2. 積分を書き換える。

$\int \frac{x}{(x-3)^2} dx = \int \frac{t+3}{t^2} dt = \int (\frac{t}{t^2} + \frac{3}{t^2}) dt = \int (\frac{1}{t} + 3t^{-2}) dt$

3. 積分を実行する。

$\int (\frac{1}{t} + 3t^{-2}) dt = \int \frac{1}{t} dt + 3 \int t^{-2} dt = \ln |t| + 3 \cdot \frac{t^{-1}}{-1} + C = \ln |t| - \frac{3}{t} + C$

4. $t$ を $x$ に戻す。

$\ln |x-3| - \frac{3}{x-3} + C$

**(2) $\int x\sqrt{x-2} dx$**

1. 置換積分を用いる。$t = \sqrt{x-2}$ と置くと、$t^2 = x-2$、$x = t^2 + 2$、$dx = 2t dt$ となる。

2. 積分を書き換える。

$\int x\sqrt{x-2} dx = \int (t^2+2)t \cdot 2t dt = 2 \int (t^2+2)t^2 dt = 2 \int (t^4 + 2t^2) dt$

3. 積分を実行する。

$2 \int (t^4 + 2t^2) dt = 2 (\int t^4 dt + 2 \int t^2 dt) = 2 (\frac{t^5}{5} + 2 \cdot \frac{t^3}{3}) + C = \frac{2}{5}t^5 + \frac{4}{3}t^3 + C$

4. $t$ を $x$ に戻す。

$\frac{2}{5}(x-2)^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3}(x-2)^{\frac{3}{2}} + C$

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3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{x}{(x-3)^2} dx = \ln |x-3| - \frac{3}{x-3} + C$

(2) $\int x\sqrt{x-2} dx = \frac{2}{5}(x-2)^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3}(x-2)^{\frac{3}{2}} + C$