$t = 2 - \cos x$ とおいて、定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x} dx = \log \fbox{ア}$ の値を求め、$ア$ に入る値を答える問題です。

1. 問題の内容

$t = 2 - \cos x$ とおいて、定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x} dx = \log \fbox{ア}$ の値を求め、$ア$ に入る値を答える問題です。

2. 解き方の手順

$t = 2 - \cos x$ とおくと、

$\frac{dt}{dx} = \sin x$ より、$dt = \sin x dx$ となります。

積分区間も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$t = 2 - \cos 0 = 2 - 1 = 1$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$t = 2 - \cos \frac{\pi}{2} = 2 - 0 = 2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt$

$\int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt = [\log |t|]_{1}^{2} = \log 2 - \log 1 = \log 2 - 0 = \log 2$

与えられた式 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x} dx = \log \fbox{ア}$ と比較すると、$ア = 2$ となります。

3. 最終的な答え

ア = 2