与えられた不定積分 $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ を、漸化式を利用して求めます。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ を、漸化式を利用して求めます。

2. 解き方の手順

まず、一般形として、$I_n = \int \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ を考えます。

部分積分を利用して、$I_n$ の漸化式を求めます。

$I_n = \int \frac{dx}{(x^2+1)^n} = \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx$

$x = x, dv = \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ とすると、$du = dx, v = \int \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ となりますが、これは役に立ちません。

代わりに、$I_n = \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx = \int \frac{x^2+1}{(x^2+1)^n} dx - \int \frac{x^2}{(x^2+1)^n} dx = \int \frac{dx}{(x^2+1)^{n-1}} - \int \frac{x^2}{(x^2+1)^n} dx = I_{n-1} - \int \frac{x^2}{(x^2+1)^n} dx$

ここで、$J = \int \frac{x^2}{(x^2+1)^n} dx$ を部分積分で計算します。

$u = x, dv = \frac{x}{(x^2+1)^n} dx$ とすると、$du = dx, v = \int \frac{x}{(x^2+1)^n} dx = \frac{1}{2} \int (x^2+1)^{-n} d(x^2+1) = \frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^{-n+1}}{-n+1} = \frac{1}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}}$

よって、$J = \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} - \int \frac{1}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} dx = \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} - \frac{1}{2(1-n)} I_{n-1}$

したがって、$I_n = I_{n-1} - \left(\frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} - \frac{1}{2(1-n)} I_{n-1}\right) = I_{n-1} - \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} + \frac{1}{2(1-n)} I_{n-1}$

$I_n = \left(1 + \frac{1}{2(1-n)}\right) I_{n-1} - \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} = \frac{2(1-n)+1}{2(1-n)} I_{n-1} - \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} = \frac{3-2n}{2(1-n)} I_{n-1} + \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}$

$I_n = \frac{2n-3}{2(n-1)} I_{n-1} + \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}$

与えられた問題は、$I_2 = \int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ です。

$I_1 = \int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan(x) + C$

$I_2 = \frac{2(2)-3}{2(2-1)} I_1 + \frac{x}{2(2-1)(x^2+1)^{2-1}} = \frac{1}{2} I_1 + \frac{x}{2(x^2+1)} = \frac{1}{2} \arctan(x) + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{dx}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{2} \arctan(x) + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$