定積分 $\int_{1}^{2} x^4 \log x dx$ の値を、$\frac{ア}{5} \log 2 + \frac{イ}{25}$ の形で表したとき、アとイの値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} x^4 \log x dx$ の値を、$\frac{ア}{5} \log 2 + \frac{イ}{25}$ の形で表したとき、アとイの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$u = \log x$, $dv = x^4 dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{5}x^5$ となります。

したがって、

$\int x^4 \log x dx = \frac{1}{5}x^5 \log x - \int \frac{1}{5}x^5 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{5}x^5 \log x - \frac{1}{5} \int x^4 dx = \frac{1}{5}x^5 \log x - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}x^5 = \frac{1}{5}x^5 \log x - \frac{1}{25}x^5 + C$

となります。

よって、定積分は、

$\int_{1}^{2} x^4 \log x dx = \left[ \frac{1}{5}x^5 \log x - \frac{1}{25}x^5 \right]_{1}^{2} = \left( \frac{1}{5} \cdot 2^5 \log 2 - \frac{1}{25} \cdot 2^5 \right) - \left( \frac{1}{5} \cdot 1^5 \log 1 - \frac{1}{25} \cdot 1^5 \right)$

$= \left( \frac{32}{5} \log 2 - \frac{32}{25} \right) - \left( 0 - \frac{1}{25} \right) = \frac{32}{5} \log 2 - \frac{32}{25} + \frac{1}{25} = \frac{32}{5} \log 2 - \frac{31}{25}$

となります。

したがって、$\frac{ア}{5} \log 2 + \frac{イ}{25} = \frac{32}{5} \log 2 - \frac{31}{25}$ より、ア = 32, イ = -31 となります。

3. 最終的な答え

ア = 32

イ = -31