関数 $f(x) = 2\cos{x} + \sin{2x}$ の $-\pi \le x \le \pi$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2\cos{x} + \sin{2x}$ の $-\pi \le x \le \pi$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分します。

$f(x) = 2\cos{x} + \sin{2x}$

$\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$ を用いると、

$f(x) = 2\cos{x} + 2\sin{x}\cos{x}$

$f'(x) = -2\sin{x} + 2\cos{2x}$

倍角の公式 $\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}$ を用いると、

$f'(x) = -2\sin{x} + 2(1 - 2\sin^2{x}) = -4\sin^2{x} - 2\sin{x} + 2$

$f'(x) = -2(2\sin^2{x} + \sin{x} - 1)$

$f'(x) = -2(2\sin{x} - 1)(\sin{x} + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、

$2\sin{x} - 1 = 0$ または $\sin{x} + 1 = 0$ のとき。

$\sin{x} = \frac{1}{2}$ または $\sin{x} = -1$

$-\pi \le x \le \pi$ において、

$\sin{x} = \frac{1}{2}$ となるのは $x = \frac{\pi}{6}$ と $x = \frac{5\pi}{6}$

$\sin{x} = -1$ となるのは $x = -\frac{\pi}{2}$

したがって、増減表は以下のようになります。

| x | $-\pi$ | ... | $-\frac{\pi}{2}$ | ... | $\frac{\pi}{6}$ | ... | $\frac{5\pi}{6}$ | ... | $\pi$ |

| -------- | -------- | --- | -------- | --- | -------- | --- | -------- | --- | -------- |

| f'(x) | | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | |

| f(x) | -2 | ↓ | -2 | ↑ | $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ | ↓ | $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ | ↑ | -2 |

$f(-\pi) = 2\cos(-\pi) + \sin(-2\pi) = 2(-1) + 0 = -2$

$f(-\frac{\pi}{2}) = 2\cos(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\pi) = 0 + 0 = 0$

$f(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$f(\frac{5\pi}{6}) = 2\cos(\frac{5\pi}{6}) + \sin(\frac{5\pi}{3}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$f(\pi) = 2\cos(\pi) + \sin(2\pi) = 2(-1) + 0 = -2$

よって、最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 、最小値は -2 となります。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

最小値: -2