$n$を正の整数（0を含む）とするとき、定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n$を正の整数（0を含む）とするとき、定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて漸化式を導き、その漸化式を用いて計算します。

まず、$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx$ と定義します。

部分積分を行うために、$\sin^n x = \sin^{n-1} x \cdot \sin x$ と考えます。

$u = \sin^{n-1} x$, $dv = \sin x dx$ とすると、

$du = (n-1) \sin^{n-2} x \cos x dx$, $v = -\cos x$ となります。

したがって、部分積分を行うと、

$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \left[-\cos x \sin^{n-1} x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x) (n-1) \sin^{n-2} x \cos x dx$

$= \left[-\cos x \sin^{n-1} x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \sin^{n-2} x dx$

ここで、$\cos(\frac{\pi}{2})=0$ かつ $\cos(0)=1$ なので、$[-\cos x \sin^{n-1} x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 0$ となります。

また、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ なので、

$I_n = (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2 x) \sin^{n-2} x dx = (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^{n-2} x - \sin^n x) dx$

$= (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x dx - (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$

よって、$I_n = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$ より、

$I_n + (n-1) I_n = (n-1) I_{n-2}$

$n I_n = (n-1) I_{n-2}$

$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$

$I_0 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^0 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = \left[x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$

$I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \left[-\cos x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$

$n$ が偶数のとき、$n=2k$ とすると、

$I_{2k} = \frac{2k-1}{2k} I_{2k-2} = \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k-3}{2k-2} I_{2k-4} = \cdots = \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k-3}{2k-2} \cdots \frac{1}{2} I_0 = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$

$n$ が奇数のとき、$n=2k+1$ とすると、

$I_{2k+1} = \frac{2k}{2k+1} I_{2k-1} = \frac{2k}{2k+1} \cdot \frac{2k-2}{2k-1} I_{2k-3} = \cdots = \frac{2k}{2k+1} \cdot \frac{2k-2}{2k-1} \cdots \frac{2}{3} I_1 = \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}$

3. 最終的な答え

$I_n = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2} & (n \text{ が偶数のとき}) \\ \frac{(n-1)!!}{n!!} & (n \text{ が奇数のとき}) \end{cases}$