次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1-x)^{2/3}}$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1-x)^{2/3}}$

2. 解き方の手順

まず、置換積分を用いて計算します。

$u = 1-x$とおくと、$du = -dx$となり、$dx = -du$です。

また、$x$が0から1まで変化するとき、$u$は1から0まで変化します。

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1-x)^{2/3}} = \int_{1}^{0} \frac{-du}{u^{2/3}} = \int_{0}^{1} \frac{du}{u^{2/3}}$

となります。

次に、積分を実行します。

$\int_{0}^{1} \frac{du}{u^{2/3}} = \int_{0}^{1} u^{-2/3} du = \left[ \frac{u^{1/3}}{1/3} \right]_{0}^{1} = \left[ 3u^{1/3} \right]_{0}^{1} = 3(1^{1/3} - 0^{1/3}) = 3(1-0) = 3$

3. 最終的な答え

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