広義積分の値を求める問題です。以下の3つの積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx$ (2) $\int_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx$ (3) $\int_{0}^{1} x^{-1/3} dx$

はい、承知いたしました。問題の内容を確認し、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

広義積分の値を求める問題です。以下の3つの積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

(2) $\int_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx$

(3) $\int_{0}^{1} x^{-1/3} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx$ の計算

置換積分を行います。$u = x^2$ と置くと、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

積分範囲も変更します。$x = 1$ のとき $u = 1$ であり、$x \to \infty$ のとき $u \to \infty$ です。

したがって、

$\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx = \int_{1}^{\infty} e^{-u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{\infty} e^{-u} du$

$= \frac{1}{2} [-e^{-u}]_{1}^{\infty} = \frac{1}{2} (\lim_{u \to \infty} (-e^{-u}) - (-e^{-1})) = \frac{1}{2} (0 + e^{-1}) = \frac{1}{2e}$

(2) $\int_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx$ の計算

これは単純な積分です。

$\int_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx = [-2x^{-1/2}]_{1}^{\infty} = \lim_{x \to \infty} (-2x^{-1/2}) - (-2(1)^{-1/2}) = 0 - (-2) = 2$

(3) $\int_{0}^{1} x^{-1/3} dx$ の計算

これも単純な積分ですが、$x=0$ で積分関数が定義されないので広義積分です。

$\int_{0}^{1} x^{-1/3} dx = [\frac{3}{2} x^{2/3}]_{0}^{1} = \frac{3}{2} (1^{2/3} - 0^{2/3}) = \frac{3}{2} (1 - 0) = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx = \frac{1}{2e}$

(2) $\int_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx = 2$

(3) $\int_{0}^{1} x^{-1/3} dx = \frac{3}{2}$