関数 $f(x) = \frac{1-x}{1+x}$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=1$ での値を計算する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1-x}{1+x}$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=1$ での値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。$f(x)$ は商の形をしているので、商の微分公式を用います。

商の微分公式は次の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

この公式を適用すると、

$f'(x) = \frac{(1-x)'(1+x) - (1-x)(1+x)'}{(1+x)^2}$

ここで、$(1-x)' = -1$、$(1+x)' = 1$ なので、

$f'(x) = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2}$

$f'(x) = \frac{-1-x - 1 + x}{(1+x)^2}$

$f'(x) = \frac{-2}{(1+x)^2}$

次に、$f'(1)$ を計算します。

$f'(1) = \frac{-2}{(1+1)^2} = \frac{-2}{2^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$f'(1) = -\frac{1}{2}$